Մաթեմատիկական որոշ խնդիրներ լուծում չունեն, և դա այնքան էլ վատ չէ

Կառուցեք չորս ուղիղ անկյուններով ուռուցիկ ութանկյուն:

Հնարավոր է՝ իմ այսպիսի առաջադրանքներ տալը շատ բան է ասում իմ ուսուցիչ կերպարի մասին: Ես հետևում եմ, թե ինչպես են ուսանողները հետևողականորեն փորձում կառուցել ուղիղ անկյունները: Երբ չեն կարողանում, նրանք փորձում են մեկումեջ այդ ուղիղ անկյուններն ուղղել: Կրկին մատնվելով անհաջողության` նրանք դնում են այդ անկյունները բազմանկյան մեջ պատահական ձևով: Աշակերտների ուղեղների ճռճռոցը ուսուցչի ականջների համար երաժշտություն է։

Հետո նրանք սկսում են կասկածել և հարցեր են տալիս: «Դուք ասել էիք՝ ուղիղ անկյուն: Գուցե դուք նկատի ունեիք երե՞ք անկյուն», «Դուք իսկապե՞ս նկատի ունեիք ուռուցիկ բազմանկյունը», «Իրականում չորս ուղիղ անկյունները արդեն ստեղծում են քառակուսի: Ինպե՞ս մենք կարող ենք ստանալ ևս չորս անկյուն ութանկյան մեջ»: Ես ուշադիր լսում եմ, գլխով եմ անում՝ հաստատելով իրենց կասկածները:

Վերջապես ինչ-որ մեկը մի հարց տվեց, որին ես շատ էի սպասում ու ցավոք, ոչ ոք դեռ չէր համարձակվել այդ հարցը տալ․ «Լսե՛ք, սա ընդհանրապես հնարավո՞ր բան է»:

Այս հարցը տիրապետում է մի հզորության, որը մաթեմատիկայում կարողանում է փոխել մտածելակերպը: Նրանք, ովքեր նեղ էին մտածում հատուկ պայմանների մասին, հիմա պետք է ավելի լայն մտածեն, թե ինչպես են համապատասխանում այս երկու պայմանները: Նրանք, ովքեր աշխատում էին համակարգի ներսում, պետք է հետ քայլ անեն և ուսումնասիրեն իրեն՝ համկարգը: Մաթեմատիկայի պատմության ընթացքում այս հարցը բազմիցս տրվել է, դրանով մտահոգվել են  այն մարդիկ, որոնք լուծում էին շրջանը քառակուսի դարձնելու խնդիրը, որպեսզի շրջանցեն Քյոնիգսբերգ քաղաքը։ Եվ այդ հարցը մեզ թույլ է տալիս ձևակերպելու, թե ինչ է մաթեմատիկան և ինչպես ենք մենք այն հասկանում:

Օրինակ՝ որոշակի հատկություններով ութանկյունի որոնումը շատ է տարբերվում ցուցադրական առաջադրանքներից, որտեղ այդպիսի ութանկյուններ գոյություն չեն կարող ունենալ: Փորձարկումներ կատարելով տարբեր ութանկյունների վրա՝ մենք կարող ենք և բախվել մեկի, որը իսկապես կունենա չորս ուղիղ անկյուն:

Սա օրինակ չէ: Իրականում այս ութանկյունը չունի չորս ուղիղ անկյուն:

Բայց հաջողությունը չի կարող ոչ մի դեր խաղալ այն ապացուցման մեջ, որտեղ ադպիսի ութանկյուն չի կարող գոյություն ունենալ: Դրա համար խորը գիտելիք է հարկավոր, ոչ միայն բազմանկյուններից, այլև հենց մաթեմատիկայից: Որպեսզի կարողանանք հաշվի առնել անհնարինությունը, մեզ հարկավոր է հասկանալ, որ օբյեկտի գոյության զուտ ենթադրությունը չի ապացուցում դրա գոյությունը: Մաթեմատիկական սահմանումները, հատկությունները և թեորեմները ապրում են իրենց փոխկապակցվածության ճնշման ներքո: Փորձելով պատկերացնել չորս ուղիղ անկյուններով ութանկյուն՝ մենք գտնվում ենք այս փոխկապակցված կանոնների մեջ:

Բայց որպեսզի գիտակցենք, որ ութանկյունը անհնարին է, մեզ պետք է մեկ քայլ հետ գնալ և նայել այդ նկարին: Ինչպի՞սի մաթեմատիկական և երկրաչափական սկզբունքներ կարող են խախտված լինել չորս ուղիղ անկյուններով ութանկյունում: Այստեղ լավ կլինի սկսել բազմանկյան անկյունների թեորեմից:

Բազմանկյան n-միակողմանի արտաքին անկյունների գումարը որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝

S = (n – 2) × 180º

Այսպես է ստացվել, քանի որ ամեն n-միակողմանի անկյուն հնարավոր է բաժանել (n — 2) եռանկյունների, որտեղ բոլոր արտաքին անկյունների գումարը հավասար է 180º:

Ութանկյան դեմքում նշանակում է, որ նրա արտաքին անկյունների գումարը հավասար է (8 – 2) × 180º = 6 × 180º = 1080º: Այդ ժամանակ, եթե նրա անկյուններից չորսը ուղիղ են, այսինքն հավասար են 90º, ուրեմն ընդհանուր անկյունների գումարից կազմում է 4 × 90º = 360º: Ուրեմն, ութանկյան մնացած չորս անկյունների համար մնում է 1080º – 360º = 720º:

Սա նշանակում է, որ մնացած չորս անկյունների համար միջինը պետք է լինի՝

Բայց ուռուցիկ բազմանկյան արտաքին անկյունները պետք է լինեն 180º-ից քիչ, այսինքն դա անհնարին է: Չորս ուղիղ անկյուններով ուռուցիկ ութանկյուն չի կարող գոյություն ունենալ:

Այս եղանակով անհնարինությունը ապացուցելը պահանջում է մեկ քայլ հետ անել և տեսնել, թե ինչպես են մաթեմատիկական բազմազան օրենքները, օրինակ՝ բազմանկյունի անկյունների գումարի և ուռուցիկ բազմանկյունի սահմանման բանաձևը, գոյություն ունեն փոխադարձ ճնշման մեջ: Եվ քանի որ անհնարինության ապացուցումը հենվում է բազում կանոնների շուրջ ավելի լայն տրամաբանության վրա, հաճախ կան նման ապացույցներ կառուցելու մի քանի եղանակներ:

Եկեք վերադառնանք մեր նախկին դիտողությանը նրա մասին, որ չորս ուղիղ անկյուններ կազմում են քառակուսի:

 

Բազմանկյան արտքին անկյունները:

Եթե ​​ութանկյունն ունենար չորս ուղիղ անկյուն, ապա շրջանցելով միայն այս անկյունները, մենք կկատարեինք մի ամբողջ շրջան, կարծես ամբողջությամբ շրջանցել ենք ուղղանկյունը: Այս միտքը մեզ տանում է դեպի մի կանոն, որը անհնարինությանը ևս մեկ ապացույց է տալիս: Հայտնի է, որ ուռուցիկ բազմանկյան արտաքին անկյունների գումարը հավասար է 360º: Քանի որ ուղիղ անկյան արտաքին անկյունը նույնպես ուղիղ անկյուն է, մեր չորս ուղիղ անկյունները կազմում են ութանկյան արտաքին անկյունների գումարի ամբողջ 360º մասը: Այսինքն ՝ մնացած չորս անկյուններից այլևս ոչինչ չի մնացել, և մենք կրկին հաստատեցինք, որ նման ութանկյունն անհնար է:

Ինչ-որ բանի անհնարինության ապացուցումը հզոր մաթեմատիկական իրադարձություն է: Դա փոխում է մեր տեսակետը, մենք կանոններին հնազանդվողներից փոխվում և դառնում ենք կանոններ վերահսկողներ: Իսկ կանոնները վերահսկելու համար առաջնահերթ պետք է հասկանալ դրանք: Մենք պետք է ոչ միայն իմանանք, թե ինչպես դրանք օգտագործենք, այլ նաև պետք է իմանանք, թե որտեղ նրանք չեն օգտագործվում: Եվ նաև գտնենք իրավիճակներ, երբ կանոնները կարող են հակասել միմյանց: Ութանկյունն ուսումնասիրելու գործընթացում մենք հայտնաբերեցինք բազմանկյունների, ուռուցիկության, ուղիղ անկյունների և անկյունների գումարների փոխհարաբերությունները: Եվ սա շեշտում է, որ S = (n — 2) 180º ուղղակի բանաձև չէ. այն հակասական պայմանների աշխարհում առկա պայմաններից մեկն է:

Անհնարինության ապացույցները կարող են օգնել մեզ ավելի լավ հասկանալու մաթեմատիկայի բոլոր ոլորտները: Դպրոցում հավանականության թեորեմը հաճախ սկսվում է բազմաթիվ երևակայական մետաղադրամներ նետելուց: Ես ուսանողներին առաջարկում եմ ստեղծել խաբեության մետաղադրամ, որը ղուշ կամ գիր ընկնելու հակում ունի և, որը ունի հետևյալ հատկությունները. երբ մետաղադրամը երկու անգամ ես նետում, երկու նետումների արդյունքները, ամենայն հավանականությամբ, տարբեր կլինեն, ոչ թե նույնը: Այլ կերպ ասած՝ դուք, ավելի հավանակն է, որ նետելիս ղուշ ու գիր կնետեք, քան ղուշ, ղուշ կամ գիր, գիր:

Փորձարկումներից և մտավոր անհաջողություններից հետո ուսանողները գալիս են հետաքրքիր վարկածի, որ տարբեր արդյունքներ երբեք չեն ունենում մեծ հավանականություն, քան նույնը: Հանրահաշիվը բացահայտում է դա և մատնանշում հիմքում ընկած համաչափությունը:

Ասենք, որ մետաղադրամը ղուշի կողմով ընկնելու հակում ունի: Մենք կանվանենք ղուշ ստանալու հավանականությունը ½ + k որտեղ 0 < k ≤ ½: Այն փաստը, որ k > 0, ապահովում է, որ ղուշը ավելի հավանական են, քան գիրը, որն ունի ½ — k հավանականություն, քանի որ երկու հավանականությունների գումարը պետք է լինի 1:

Եթե ​​մենք մետաղադրամը երկու անգամ նետենք, ապա երկու ղուշ կամ երկու գիր ընկնելու հավանականությունը հավասար է՝

Այստեղ մենք գումարում ենք երկու ղուշ ստանալու հավանականությունը (ձախ կողմ) երկու գիր ստանալու հավանականությանը (աջ կողմ): Հանրահաշվի օգնությամբ մենք կարող ենք պարզեցնել երկու նետումների արդյունքը ստանալու հավանականությունը:

Քանի որ k > 0, մենք գիտենք, որ ½ + 2k2 > ½, իսկ սա նշանակում է, որ ավելի մեծ հավանականությունով նետումների արդյունքները կլինեն նույնը: Իրականում, մենք տեսնում ենք, եթե անգամ k = 0(դե մեր մետաղադրամը խաբեբա է), նույն արդյունքների հավանականությունը հավասար է ½, որի շնորհիվ տարբեր նետումների արդյունքների հավանականությունը նույն պես հավասար է ½: Նույն արդյունքը երբեք պակաս հավանական չի լինի, քան տարբեր արդյունքները:

Ինչպես բազմանկյունի խնդրի դեպքում, մենք տեսնում ենք մրցակցային աշխատանքում մաթեմատիկական ճնշումներ՝ մետաղադրամի մի կողմը ստանալու հավանականությունը փոխելը փոխում է նաև մյուս կողմը ստանալու հավանականությունը. այդ փոխկապակցումը ղեկավարում է երկու նետումների արդյունքի հնարավորությունների տարածությունը: Մենք բացահայտեցինք այս ճնշումը՝ փորձելով կատարել անհնարինը:

Մաթեմատիկայի ցանկացած ոլորտ կարող է ենթարկվել այդպիսի ճնշումների: Փորձեք գտնել վեց անընդմեջ ամբողջ թվեր, որոնց գումարը հավասար է 342, և ձեր համառությունը կհանգեցնի ձեզ զույգ թվերի ավելի խորը ընկալման: (Այն փաստը, որ հաջորդական ամբողջ թվերը հերթափոխով են դառնում զույգ ու կենտ, ազդում է նրա վրա, թե դրանց գումարն ինչպիսին կարող է լինել): Խորանարդ բազմանդամ գտնելը ամբողջ թվով գործակիցներով, որն ունի երեք ոչ իրական արմատներ, ձեզ սովորեցնում է կեղծ թվերի կապվածության կարևորությունը՝ կեղծ թվերի զույգեր, որոնց արտադրյալն ու գումարը միշտ իրական են: Եվ, եթե փորձեք ոչ ուղղանկյուն ռոմբ շրջան գծել, ապա դուք կգտնեք ցիկլային քառանկյունների կարևոր հատկություն՝ քառանկյան հանդիպակաց անկյունները, որոնց գագաթները գտնվում են շրջանագծի վրա, պետք է լինեն 180 աստիճան:

Անհնարինի հետ բախումը մեզ թույլ է տալիս ուսումնասիրել մեր մաթեմատիկական աշխարհների սահմանները: Անհնարինը ինքնին ընդհանրացման մի տեսակ է, ուստի ճիշտ կլիներ շարունակել ընդհանրացումը՝ ութանկյունը չի կարող ունենալ չորս ուղիղ անկյուն, բայց ի՞նչ կասեք տասնանկյունի մասին: Ինչ վերաբերում է ուռուցիկ բազմանկյունին, n> 4 կողմերով: Նմանատիպ հարցերը բխում են մեր մաթեմատիկական աշխարհների սահմաններից և խորացնում են դրանց ընկալումը:

Եթե հետագայում սահմանները մեծացնենք, ապա անհնարինը կարող է նույնիսկ ներշնչել նոր մաթեմատիկական աշխարհների ստեղծում: Շրջանը քառակուսիացնելու անհնարինությունը ապացուցելու համար (այս խնդիրն արդեն առնվազն երկու հազար տարեկան է) անհրաժեշտ է տրանսցենդենտալ թվերի ժամանակակից թեորեմը, որը չի կարող լինել ամբողջ բազմանդամների արմատները: Քյոնիգսբերգի յոթ կամուրջների խնդիրը լուծելու համար Էյլերը կղզիներն ու կամուրջները վերածեց գագաթների և եզրերի՝ ծնունդ տալով սյուների թեորեմի և ցանցերի թեորեմի ընդարձակված ոլորտներին, ինչպես նաև դրանց կիրառման ոլորտների բազմազանությանը:  −1-ից քառակուսի արմատ ստանալը հանգեցրեց թվաբանության բոլորովին նոր համակարգի ստեղծմանը: Եվ տրամաբան Կուրտ Գյոդելը ընդմիշտ փոխեց մաթեմատիկան՝ ապացուցելով, որ անհնար է ապացուցել, որ ամեն իրականություն իրական է:

Ուստի հաջորդ անգամ, երբ բախվեք մաթեմատիկայի խնդրի, ինքներդ ձեզ հարցրեք. «Հնարավո՞ր է սա»: Անհնարինության հետ բախումը կարող է ձեզ տալ հնարավորի ավելի խորը ընկալում։ Դրանով դուք կարող եք նույնիսկ ստեղծել մաթեմատիկայի նոր ոլորտներ:

Աղբյուրը

Թարգմանությունը՝ Արտաշես Գրիգորյանի

Խորհրդատու՝ Հերմինե Անտոնյան