Ալան Բիրդըն. Քանի՞ երկրաչափություն կա

Ավելի քան 2000 տարի առաջ հույն մաթեմատիկոս Էվկլիդեսը սկսել է մարդկանց բացատրել, որ ցանկացած մաթեմատիկական դատողություն, վարկած պետք է ապացուցվի։ Ինչքան էլ մի պնդում ճշմարիտ լինի, կա որոշակի հավանականություն, որ այդ պնդումը կարող է նաև լինել կեղծ, այնպես որ համոզված լինելու համար պետք է ապացույց ունենալ։
Հիմա, եթե մենք սկսում ենք ապացույցներ տալ, պետք է ինչ-որ տեղից սկսենք։ Չենք կարող անընդհատ ապացուցել, ապացուցել և այդպես անվերջ տարբեր բաներ ապացուցել՝ անընդհատ գալով պարզ մաթեմատիկայի հիմունքներին։ Էվկլիդեսն էր, որ արեց այդ ապշեցուցիչ քայլը՝ հասկացավ, որ մաթեմատիկան ունի աքսիոմների կարիքը։ Աքսիոմը, կոպիտ ասած, ինչ-որ բանի հիմնավորման համաձայնեցված ելակետն է, որը ապացուցման կարիք չունի։ Օրինակ, մենք կարող ենք համաձայնել, որ ցանկացած երկու կետով անցնում է մեկ ուղիղ, կամ էլ, որ ցանկացած երկու ուղիղ հատում են մեկ կետում։ Արդյունքում, Էվկլիդեսի ասելիքը սա էր․ «Եկեք համաձայնության գանք որոշ հիմնական «փաստերի» շուրջ և համաձայնենք, որ դրանցից բացի մնացած ամեն ինչը պետք է ապացուցվի»։ Ասելով դա՝ նա կազմեց այն աքսիոմները, որոնք մենք գիտենք, որպես Էվկլիդեսյան երկրաչափություն, ու այդպիսով նա սկսեց զարգացնել երկրաչափությունն ու այն հասցնել շատ բարձր մակարդակի։ Սա այն երկրաչափությունն է, որը մենք սովորում ենք դպրոցում և օգտագործում ենք կենցաղում, օրինակ՝ երբ տուն ենք նախագծում։
Ամեն ինչ լավ է թվում, բայց ենթադրենք, թե չենք համաձայնում Էվկլիդեսի աքսիոմների հետ։ Հետո՞ ինչ է լինում։ Նախ և առաջ, մենք չենք կարող անվավեր ճանաչել Էվկլիդեսի փաստարկները, չնայած նրան, որ նա ասում է «եթե համաձայն ենք իմ աքսիոմներին, ապա սա այսպես կլինի, դա էլ այդպես կլինի»։ Մենք չենք կարող կասկածի տակ դնել Էվկլիդեսի աքսիոմները, եթե նույնիսկ մենք մեր աքսիոմներն ենք նախընտրում։ Այնուամենայնիվ, նշանակում է, որ մեկը կարող է գալ և փոփոխությունների ենթարկել Էվկլիդեսի աքսիոմները, ինչից հետո, ենթադրաբար նրանք կհանգեն ուրիշ թեորեմների։ Եկեք փորձենք։
Պատկերացրեք, որ ուզում ենք շրջագայել Երկրագնդի շուրջ և այդպիսով, լինելով մի «նավիգատոր»՝ ուզում ենք չափել հեռավորություններ, անկյուններ և այլ բաներ՝ Երկրի մակերույթի վրա։ Դա նշանակում է, որ մենք պետք է երկրաչափություն անենք գնդի մակերևույթի վրա։ Ակնհայտ է, որ Էվկլիդեսյան երկրաչափությունը չի աշխատի այստեղ։ Ի՞նչ պետք է անենք։ Պետք է փոփոխության ենթարկենք աքսիոմները և(կամ) ստեղծենք նոր երկրաչափություն։ Եկեք ստանանք նոր երկրաչափություն։
Գնդի վրա երկու կետերի միջև եղած ամենափոքր հեռավորությունը Մեծ շրջանի (շրջան, որն առաջանում է գունդը այնպիսի հարթությամբ հատելիս, որն անցնում է այդ գնդի կենտրոնով) մի աղեղն է։ Երկիր մոլորակի մակերևույթի երկայնության և հասարակածի գծերը Մեծ շրջաններ են։ Մնացած երկայնության գծերը Մեծ շրջաններ չեն, քանի որ դրանց կենտրոնները չեն համապատասխանում Երկիր մոլորակի կենտրոնին։ Այսինքն՝ կարելի է ասել, որ ողջամիտ կլինի ասել, որ Մեծ շրջանները մեր նոր՝ գնդային երկրաչափության ուղիղներն են։ Քանի՞ այդպիսի ուղիղ կա Հյուսիսային և Հարավային բևեռների կետերով։ Դրանք անսահման շատ են։ Էվկլիդեսի աքսիոմներից մեկում ասվում է, որ երկու կետերով հնարավոր է անցկացնել միայն մեկ ուղիղ, սակայն գնդային երկրաչափությունում այս աքսիոմը, ինչպես տեսաք, պետք է փոխել։
Եկեք պատկերացնենք եռանկյուն մի գնդի վրա, որի գագաթները դրված են 1․ Հյուսիսային բևեռի կետում, 2․հասարակածի և Գրինվիչյան միջօրեականի հատման կետում, 3․հասարակածի 90 աստիճան երկայնությամբ կետում։ Այս երեք կետերն իրար միացնող Մեծ շրջանների աղեղները ստեղծում են գնդային երկրաչափության եռանկյուն, որը կազմված է 90 աստիճան ունեցող անկյուններով։ Ստացվում է, որ գնդային երկրաչափությունում ևս մեկ բան կա, որը չի համապատասխանում Էվկլիդեսյան երկրաչափությանը։ Ինչպես տեսանք, կոնկրետ այս եռանկյան անկյունների գումարը ստացվեց 270 աստիճան, այնինչ, ըստ Էվկլիդեսի՝ բոլոր եռանկյունների անկյունների գումարը 180 աստիճան է։ Մաթեմատիկոսները պարզել են, որ գնդային երկրաչափության եռանկյան անկյունների գումարը կարող է լինել 180 աստիճանից մինչև 540 աստիճան։ Այսպես կարելի է անվերջ շարունակել փոփոխվող աքսիոմների այս շարքը։ Օրինակ՝ գնդային երկրաչափությունում ցանկացած երկու Մեծ շրջան (Էվկլիդեսյան երկրաչափության ուղիղները) հատվում են 2 կետերում, իսկ Էվկլիդեսյանում դրանք հատվում են միայն մեկում։
Կարծում եմ՝ մենք հասանք այն կետին, որ պետք է համաձայնենք, որ կան առնվազն 2 տարբեր երկրաչափություններ՝ ի դեմս Էվկլիդեսյան երկրաչափության և գնդային երկրաչափության։ Այդ երկու երկրաչափություններն իրար չեն հակասում, դրանցից ոչ մեկը ո՛չ ճիշտ է, ո՛չ էլ սխալ։ Դրանք պարզապես ներկայացնում են հազարամյակներ առաջ Էվկլիդեսի սկսած և ուրիշների պաշտպանած գործողությունների ընթացքը, պարզապես հիմնավորման տարբեր ելակետերով՝ աքսիոմներով։ Զարմանալին այն է, որ Երկրի վրա անընդհատ շրջագայող մարդուց դարեր պահանջվեցին, որպեսզի նա հասկանար, որ Էվկլիդեսյան երկրաչափությունից բացի կան այլ՝ նույնպես վավեր և ծանրակշիռ երկրաչափություններ։
Եվ ուրեմն, ինչպե՞ս կարող ենք պատասխանել այս հոդվածի վերնագրի հարցին։ Դե, սա ուրիշ և շատ երկար պատմություն է, բայց վերջում ստացվում է, որ իրականում կան շատ-շատ երկրաչափություններ՝ ամենքը իր առանձնահատկությոններով։ Որոշները հետաքրքիր և օգտակար են (ինչպես օրինակ գնդային երկրաչափությունը կամ Էյնշտեյնի հարաբերականության տեսությունը), որոշներն էլ պարզապես հետաքրքրական են։ Այնուամենայնիվ, շնորհիվ Էվկլիդեսի, որը, ցավոք, երբեք չհասցրեց պատկերացնել այդպիսի բաներ, մենք գիտենք, որ բոլոր երկրաչափությունները վավեր են և ամենքն իր հատկությունները ունի։ Հետաքրքիր է, թե հիմա մենք որտեղ կլինեինք, եթե հանճարեղ Էվկլիդեսը ի վիճակի լիներ ևս մի զարմանահրաշ քայլ անել աշխարհում 2000 տարի առաջ՝ հասկանալ, որ այլ երկրաչափություններ էլ կան։

Նկարիչ Մ․ Ս․ Էսչերը օգտագործել է տարբեր՝ գնդային, հարթաչափական և հիպերբոլիկ երկրաչափություններ և ստացել հրաշալի նկարներ։